待定系数法求分式最值

题目

今天做圆锥曲线，一道题目的最后一步是求这个式子的最小值：

$$\frac{20(k^2+1)^2}{(k^2+4)(4k^2+1)}$$

配套答案也是直接一步不等号就把 $k$ 消没了，我花了半天研究怎么才能把 $k$ 给消掉。

均值不等式

由几何平均数小于算术平均数，我们可以推出下列式子

$$ab \leq (\frac{a+b}{2})^2$$

并且仅当 $a=b$ 时不等号取等。根据这个式子，我们可以进行下一步操作。

待定系数法

所谓待定系数，就是看谁可以使分母的两个因式相加起来等于 $k^2+1$，之后就可以上下约掉了。我们待定两个系数 $\lambda, \mu$ 把原式变形为下列式子：

$$\frac{20(k^2+1)^2}{\frac{1}{\lambda \mu}(\lambda k^2+4\lambda)(4\mu k^2+\mu)}$$

分母两个因式相加就是：

$$(\lambda+4\mu)k^2+4\lambda+\mu$$

我们令这个式子恒等于 $k^2+1$，就有：

$$\lambda+4\mu=1\\ 4\lambda+\mu=1$$

解得 $\lambda=\mu=\frac{1}{5}$，所以反过来看我们原来的题目：

$$\begin{aligned} \frac{20(k^2+1)^2}{(k^2+4)(4k^2+1)}&=\frac{20(k^2+1)^2}{25(\frac{1}{5}k^2+\frac{4}{5})(\frac{4}{5}k^2+\frac{1}{5})}\\ &\geq\frac{20(k^2+1)^2}{25(\frac{k^2+1}{2})^2}\\ &=\frac{16}{5} \end{aligned}$$

它的取等条件是变形后的分母两个因式相等，即 $k^2=1$ 时取等。