结论

设 a⃗=(x0,y0)\vec{a} = (x_0, y_0)，旋转角为 θ\theta，旋转后的向量为 b⃗=(x1,y1)\vec{b}=(x_1, y_1)，则：

{x1=x0cos⁡θ−y0sin⁡θy1=x0sin⁡θ+y0cos⁡θ \left\{ \begin{aligned} x_1 & = x_0\cos \theta - y_0\sin \theta \\ y_1 & = x_0\sin \theta + y_0\cos \theta \\ \end{aligned} \right.

并且它们的模长相等。

推导

仅用到一点点极坐标和和角公式的内容：

a⃗=(rcos⁡α,rsin⁡α)b⃗=(rcos⁡(α+θ),rsin⁡(α+θ))=(rcos⁡αcos⁡θ−rsin⁡αsin⁡θ,rsin⁡αcos⁡θ+rcos⁡αsin⁡θ)=(x0cos⁡θ−y0sin⁡θ,x0sin⁡θ+y0cos⁡θ)\begin{aligned} \vec{a} &= (r\cos\alpha, r\sin\alpha)\\ \vec{b}&=(r\cos(\alpha+\theta), r\sin(\alpha+\theta))\\ &=( r\cos\alpha \cos\theta - r\sin\alpha \sin\theta,r\sin\alpha \cos\theta +r\cos\alpha \sin\theta)\\ &=(x_0\cos\theta-y_0\sin\theta, x_0\sin\theta + y_0\cos\theta) \end{aligned}

图示