结论

设 i⃗\vec{i} 为入射向量，n⃗\vec{n} 为法线单位向量，r⃗\vec{r} 为反射向量，则有：

r⃗=i⃗−2(i⃗⋅n⃗)n⃗\vec{r} = \vec{i} - 2(\vec{i}\cdot\vec{n})\vec{n}

推导

流程：设一个法向量的单位向量，利用点乘得到投影进而表示出平行四边形的对角线的向量，再通过平行四边形法则得到反射向量。

根据需求建立如下模型（注意 i⃗\vec{i} 的方向，以及 n⃗\vec{n} 为单位向量）：

模型

根据平行四边形法则，有：

−i⃗+r⃗=2OM⃗-\vec{i} + \vec{r} = 2\vec{OM}

不难得出：

∣OM⃗∣=−i⃗⋅n⃗|\vec{OM}| = -\vec{i}\cdot\vec{n}

向量 OM⃗\vec{OM} 的单位向量其实就是法线向量 n⃗\vec{n}，即：

OM⃗=−(i⃗⋅n⃗)n⃗\vec{OM} = -(\vec{i}\cdot\vec{n})\vec{n}

且：

−i⃗+r⃗=2OM⃗-\vec{i} + \vec{r} = 2\vec{OM}

移项得到开头的公式：

r⃗=i⃗−2(i⃗⋅n⃗)n⃗\vec{r} = \vec{i} - 2(\vec{i}\cdot\vec{n})\vec{n}