利用隐函数求椭圆切线

最近刷圆锥曲线，遇到一个关于椭圆切线的题目，就记录一下。

常规思路

联立这两个方程：

$y=kx+m$

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$

最终一定可以化为这样的形式：

$Ax^2+Bx+C=0$

之后用 $\Delta=0$ 就可以算出来一些等量关系了。

相对于 $y=f(x)$ 这种显函数，还有类似于 $F(x, y) = 0$ 这种隐函数，比如椭圆的标准方程中：

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$x, y$ 就是一种隐函数的关系，它也可以求导，对等式两边同时求即可：

$\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy'}{b^2}=0$

整理可得：

$y'=-\frac{b^2x}{a^2y}$

所以，在 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程为：

$y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)$

整理可得：

$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$

这就是切线方程，和圆的切线方程对于圆的标准方程来说，比较类似。

注：圆在圆上一点 $P(x_0, y_0)$ 处的切线方程为：

$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

当圆心为原点时，它的方程为：

$x_0x+y_0y=r^2$

它和椭圆切线相对于原方程的形式类似，所以我扯了一嘴。

对于下列椭圆求任意在椭圆上的非端点 $P(m, n)$ 的切线：

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

根据公式可直接得出：

$\frac{mx}{4}+\frac{ny}{3}=1$

化为斜截式：

$y=-\frac{3m}{4n}x+\frac{3}{n}$

这是我刚才做的一道题中重要的一个步骤，所以就放上来了。